Moltiplicare e dividere per 10, 100 e 1000
Moltiplicare o dividere un numero per 10, 100 o 1000 non richiede colonne né calcoli in colonna: basta spostare la virgola. Verso destra quando si moltiplica, verso sinistra quando si divide, di tanti posti quanti sono gli zeri del numero. È una delle poche regole della scuola media che funziona sempre, su qualsiasi numero, intero o decimale, e questa pagina spiega perché, con la tabella posizionale, gli esempi svolti e gli errori da evitare.
La regola in una frase
Gli zeri del numero per cui si moltiplica o divide dicono di quanti posti spostare la virgola: uno zero, un posto; due zeri, due posti; tre zeri, tre posti. La direzione dipende dall'operazione. Moltiplicando, il risultato cresce e la virgola va verso destra. Dividendo, il risultato cala e la virgola va verso sinistra. Tutto qui: non ci sono altri passaggi.
Tenere a mente questi due fatti, quanti posti e in che direzione, basta per ogni caso che si incontra in classe, dalle quattro operazioni alle conversioni di misura fino al calcolo rapido delle percentuali.
Moltiplicare per 10, 100 e 1000
Per moltiplicare si sposta la virgola verso destra: di un posto per il 10, di due per il 100, di tre per il 1000. Il numero diventa più grande perché ogni cifra sale verso una posizione di valore maggiore.
- 3,5 × 10 = 35: un posto a destra, la virgola passa dopo il 5 e sparisce, perché il numero è diventato intero.
- 3,5 × 100 = 350: due posti a destra, dopo il 5 manca una cifra, quindi si aggiunge uno zero segnaposto.
- 12,7 × 100 = 1270: due posti a destra, la virgola arriva a fine numero e si aggiunge uno zero.
- 6,28 × 1000 = 6280: tre posti a destra, due cifre decimali più uno zero di completamento.
Quando il numero di partenza è intero non c'è una virgola visibile, ma esiste una virgola implicita alla sua destra: 4 vale 4,0. Moltiplicare per 1000 sposta quella virgola di tre posti, e i posti vuoti si riempiono di zeri: 4 × 1000 = 4000. Per i numeri interi, quindi, moltiplicare per 10, 100 o 1000 equivale ad aggiungere in coda uno, due o tre zeri: 25 × 100 = 2500.
Dividere per 10, 100 e 1000
Per dividere si sposta la virgola verso sinistra, sempre dello stesso numero di posti: uno per il 10, due per il 100, tre per il 1000. Il numero diventa più piccolo perché ogni cifra scende verso una posizione di valore minore.
- 350 ÷ 10 = 35: un posto a sinistra, la virgola si infila tra il 5 e lo zero, che essendo finale si elimina.
- 350 ÷ 100 = 3,5: due posti a sinistra, la virgola si ferma tra il 3 e il 5.
- 48 ÷ 100 = 0,48: due posti a sinistra, davanti al 4 non resta nessuna cifra intera, quindi si scrive uno zero prima della virgola.
- 7 ÷ 1000 = 0,007: tre posti a sinistra, il 7 ha una sola cifra, perciò servono due zeri segnaposto tra la virgola e il 7, più lo zero prima della virgola.
L'ultimo esempio mostra il punto più delicato della divisione: quando le cifre non bastano a coprire tutti i posti, si aggiungono zeri di riempimento. Senza quei due zeri il 7 finirebbe nella posizione sbagliata e il risultato sarebbe completamente diverso. Lo stesso accade con 8 ÷ 100 = 0,08 e con 90 ÷ 1000 = 0,09: gli zeri non sono un abbellimento, tengono ogni cifra nella sua posizione.
Perché la regola funziona
Il sistema di numerazione che si usa è decimale, cioè costruito sul numero dieci. Ogni posizione vale dieci volte quella immediatamente alla sua destra: le decine valgono dieci unità, le centinaia dieci decine, le migliaia dieci centinaia. Verso destra della virgola vale la stessa logica al contrario: i decimi sono dieci volte più piccoli delle unità, i centesimi dieci volte più piccoli dei decimi.
Moltiplicare per 10 fa avanzare ogni cifra di una posizione verso valori più alti: l'unità diventa decina, la decina diventa centinaio. Spostare la virgola di un posto verso destra descrive esattamente questo avanzamento. Per questo la regola non è una scorciatoia approssimata ma dà il risultato esatto: è la struttura stessa del sistema decimale a renderla vera. Dividere per 10 fa il percorso inverso, una posizione verso il basso, e corrisponde a spostare la virgola di un posto a sinistra.
La tabella posizionale
Per vedere lo spostamento conviene incolonnare le cifre secondo il loro valore. Da sinistra a destra: migliaia, centinaia, decine, unità, poi la virgola, e infine decimi, centesimi, millesimi. Ogni colonna vale un decimo di quella alla sua sinistra.
| Numero | Migliaia | Centinaia | Decine | Unità | , | Decimi |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 35 | 3 | 5 | , | |||
| 35 × 10 = 350 | 3 | 5 | 0 | , | ||
| 35 ÷ 10 = 3,5 | 3 | , | 5 |
Le cifre 3 e 5 restano sempre vicine: cambia solo la colonna in cui cadono. Moltiplicando scorrono a sinistra (verso valori più grandi), dividendo a destra (verso i decimali).
Prendiamo il 35. La cifra 3 sta nelle decine, la cifra 5 nelle unità. Moltiplicare per 10 sposta entrambe di una colonna verso sinistra: il 3 passa alle centinaia, il 5 alle decine, e l'unità rimasta vuota si riempie con uno zero. Il risultato è 350. Dividere 35 per 10 fa il movimento opposto: il 3 scende alle unità, il 5 ai decimi, e si ottiene 3,5. La virgola, in pratica, è il riferimento fisso che separa l'intero dai decimali: anziché far scorrere tutte le cifre, si fa scorrere la virgola nella direzione opposta, ed è la stessa cosa vista dall'altro lato.
Gli errori più comuni
Tre inciampi tornano in quasi tutte le verifiche. Il primo è sbagliare la direzione: spostare la virgola a sinistra quando si moltiplica o a destra quando si divide. Il rimedio è fissare l'idea che moltiplicare ingrandisce, quindi la virgola va a destra, e dividere rimpicciolisce, quindi va a sinistra.
Il secondo è dimenticare gli zeri segnaposto. Dividendo 7 per 1000 non si scrive 0,7 né 0,07, ma 0,007: servono tre posti, e dove mancano le cifre vanno gli zeri. Contare i posti prima di scrivere il risultato evita l'errore.
Il terzo riguarda i numeri interi: davanti a 4 × 100 capita di scrivere 4,00 invece di 400. La virgola di un intero è alla sua destra, non a sinistra, quindi moltiplicando ci si sposta verso numeri più grandi, non verso i decimali.
Dove serve nella pratica
Queste regole non restano sul quaderno. Le conversioni di unità del sistema metrico sono moltiplicazioni e divisioni per 10, 100 o 1000, perché ogni unità è dieci, cento o mille volte un'altra. Da metri a centimetri si moltiplica per 100 (2,5 m = 250 cm); da grammi a chilogrammi si divide per 1000 (1500 g = 1,5 kg); da chilometri a metri si moltiplica per 1000 (0,75 km = 750 m).
Anche le percentuali rapide sfruttano la stessa idea. Il 10% di un numero è quel numero diviso per 10: il 10% di 350 è 35, il 10% di 48 è 4,8. L'1% è una divisione per 100: l'1% di 350 è 3,5. Da questi due valori si ricava molto a mente, per esempio il 20% raddoppiando il 10% o il 5% dimezzandolo. Tornano utili anche con il denaro, dove uno spostamento di virgola separa gli euro dai centesimi.
Domande frequenti
Come si moltiplica un numero decimale per 100?
Si sposta la virgola di due posti verso destra. Per esempio 12,7 × 100 = 1270: la virgola passa da 12,7 a 1270, e poiché restava un posto vuoto si aggiunge uno zero finale. Il numero di posti corrisponde sempre agli zeri del moltiplicatore: uno per 10, due per 100, tre per 1000.
Perché dividendo per 1000 si ottengono numeri più piccoli?
Dividere significa distribuire una quantità in parti uguali: diviso per 1000 vuol dire in mille parti, quindi ogni parte è molto più piccola del totale. Sul piano del calcolo la virgola si sposta di tre posti verso sinistra, e ogni spostamento a sinistra rende il numero dieci volte più piccolo. Così 7 ÷ 1000 = 0,007, un valore vicino allo zero.
Cosa succede se non ci sono abbastanza cifre per spostare la virgola?
Si aggiungono zeri come segnaposto per completare lo spostamento. Per dividere 7 per 1000 servono tre posti a sinistra, ma il 7 ne ha solo uno: si scrive 0,007, con due zeri di riempimento tra la virgola e il 7. Allo stesso modo 48 ÷ 100 = 0,48 e 8 ÷ 100 = 0,08. Gli zeri non sono facoltativi: tengono ogni cifra nella sua posizione corretta.
Qual è la differenza tra moltiplicare e dividere per 10, 100 o 1000?
Cambia solo la direzione dello spostamento della virgola. Moltiplicando, la virgola va verso destra e il numero diventa più grande; dividendo, va verso sinistra e il numero diventa più piccolo. Il numero di posti è sempre pari agli zeri: uno per 10, due per 100, tre per 1000. È l'errore di direzione la confusione più comune nelle verifiche.
Come si moltiplica un numero intero, senza virgola, per 10 o 100?
Un numero intero ha una virgola implicita alla sua destra: 4 si può leggere 4,0. Moltiplicare per 10, 100 o 1000 equivale quindi ad aggiungere rispettivamente uno, due o tre zeri. Per esempio 4 × 1000 = 4000 e 25 × 100 = 2500. Aggiungere zeri a destra e spostare la virgola sono due modi di descrivere la stessa operazione.
Perché spostare la virgola dà lo stesso risultato della moltiplicazione vera?
Perché il sistema di numerazione è decimale, cioè in base dieci. Ogni cifra vale dieci volte quella alla sua destra: le decine valgono dieci unità, le centinaia dieci decine, e così via. Moltiplicare per 10 fa avanzare ogni cifra di una posizione verso valori più alti, ed è esattamente ciò che si ottiene spostando la virgola di un posto. Non è una scorciatoia approssimata, ma il risultato esatto.
Come si usano queste regole per cambiare unità di misura?
Le unità del sistema metrico crescono e calano di dieci in dieci, quindi le conversioni sono moltiplicazioni e divisioni per 10, 100 o 1000. Da metri a centimetri si moltiplica per 100 (2,5 m = 250 cm); da grammi a chilogrammi si divide per 1000 (1500 g = 1,5 kg); da chilometri a metri si moltiplica per 1000 (0,75 km = 750 m). Riconoscere il fattore giusto evita di sbagliare la conversione.
Come si calcola velocemente il 10% di un numero?
Il 10% corrisponde a una divisione per 10: basta spostare la virgola di un posto verso sinistra. Il 10% di 350 è 35, il 10% di 48 è 4,8. Allo stesso modo l'1% è una divisione per 100 (l'1% di 350 è 3,5). Partendo da questi due valori si ricavano a mente molte altre percentuali, per esempio il 20% raddoppiando il 10%.