Solidi: volume e superficie
Un solido, a differenza di una figura piana, ha un volume: lo spazio che occupa, oltre alla superficie che lo riveste. Ogni scheda spiega come si ricavano volume e superficie dalla figura, con esempi risolti e un calcolatore che mostra la formula sostituita con le misure che inserisci.
Ogni solido si misura con due grandezze distinte. La superficie è la somma delle aree che lo rivestono all'esterno, ed eredita le formule delle figure piane: le facce di un cubo sono quadrati, quelle di un prisma sono rettangoli, il « guscio » di un cilindro srotolato è un rettangolo più due cerchi. Il volume, invece, misura lo spazio interno e si esprime in unità cubiche. Tenere separate le due domande, «quanto lo rivesto» contro «quanto ci sta dentro», evita l'errore più frequente, cioè usare la formula del volume quando il problema chiedeva la superficie.
Per il volume vale una regola che semplifica quasi tutto. Nei solidi a sezione costante (cubo, parallelepipedo, prisma e cilindro) il volume è semplicemente l'area di base moltiplicata per l'altezza. Nei solidi che si restringono fino a un vertice, il cono e la piramide, la stessa base e la stessa altezza danno un volume tre volte più piccolo: il fattore un terzo ricorre proprio perché un solido a punta riempie un terzo del solido diritto che lo contiene. La sfera resta il caso speciale, l'unico senza basi né spigoli, dove tutto dipende dal raggio. Le schede qui sotto partono dalla figura disegnata e dal suo sviluppo piano, così la formula non arriva mai come una regola da imparare a memoria.
Sfera e cono aprono l'elenco perché sono le schede più complete, con lo sviluppo piano e le relazioni con il cerchio; le altre figure seguono in ordine alfabetico. Per le superfici a due dimensioni vai invece alle figure piane.
Domande frequenti
Che differenza c’è tra superficie e volume di un solido?
La superficie è la misura del rivestimento esterno del solido, quanta carta servirebbe per incartarlo, e si misura in centimetri o metri quadrati. Il volume è lo spazio che il solido occupa al suo interno, e si misura in centimetri o metri cubi. Un cubo di lato 2 ha superficie 24 (sei facce da 4) ma volume 8.
Come si calcola il volume dei solidi più comuni?
Per i solidi « diritti » come il cubo, il parallelepipedo, il prisma e il cilindro il volume è area di base per altezza. Per i solidi a punta (cono e piramide) vale lo stesso prodotto ma diviso tre. La sfera ha una formula a sé: quattro terzi di pi greco per il raggio elevato al cubo.
Perché il volume di cono e piramide si divide per tre?
Perché un cono entra esattamente tre volte nel cilindro che ha la stessa base e la stessa altezza, e una piramide entra tre volte nel prisma corrispondente. È una relazione geometrica dimostrata fin dall’antichità: il solido a punta vale sempre un terzo del solido diritto con base e altezza uguali.
Cos’è lo sviluppo piano di un solido?
È il solido « srotolato » sul piano: tutte le sue facce disposte una accanto all’altra, come quando si apre una scatola di cartone. Lo sviluppo piano serve a capire da dove nasce la formula della superficie, perché ne mostra ogni parte separata: per il cilindro, ad esempio, due cerchi e un rettangolo.
Molti solidi nascono da una figura piana: il cono dalla rotazione di un triangolo, la sfera dalla rotazione di un cerchio. La base di partenza si trova sempre tra le figure piane.