Poligoni regolari: perimetro e area
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I tuoi dati
Un poligono regolare è una figura piana con n lati tutti uguali e n angoli interni tutti uguali. Servono entrambe le condizioni, lati e angoli, perché sia davvero regolare: è la figura più simmetrica che esista tra i poligoni. Al crescere di n la forma si avvicina sempre di più al cerchio, che si può vedere come un poligono regolare con infiniti lati piccolissimi.
I poligoni regolari più importanti
| n | Nome | Angolo interno |
|---|---|---|
| 3 | Triangolo equilatero | 60° |
| 4 | Quadrato | 90° |
| 5 | Pentagono regolare | 108° |
| 6 | Esagono regolare | 120° |
| 7 | Ettagono regolare | 128,57° |
| 8 | Ottagono regolare | 135° |
| 9 | Ennagono regolare | 140° |
| 10 | Decagono regolare | 144° |
| 12 | Dodecagono regolare | 150° |
La formula generale per l’angolo interno è: α = (n − 2) · 180° / n. Per n = 3: α = 180°/3 = 60°; per n = 6: α = 4·180°/6 = 120°.
Formula del perimetro
Il perimetro è la misura più semplice da calcolare per un poligono regolare:
P = n · l
dove n è il numero di lati e l è la lunghezza di ciascun lato. La formula riflette direttamente la definizione: il perimetro è la somma dei lati, e poiché tutti i lati sono uguali, è sufficiente moltiplicare.
Esempi
- Triangolo equilatero (n=3, l=5 cm): P = 3 · 5 = 15 cm
- Quadrato (n=4, l=5 cm): P = 4 · 5 = 20 cm
- Esagono regolare (n=6, l=5 cm): P = 6 · 5 = 30 cm
- Ottagono regolare (n=8, l=5 cm): P = 8 · 5 = 40 cm
L’area dei poligoni regolari (nota integrativa)
Per completezza, l’area di un poligono regolare richiede la conoscenza dell’apotema (a), che è la distanza dal centro al punto medio di un lato:
A = (P · a) / 2 = (n · l · a) / 2
L’apotema si calcola con la tangente:
a = l / (2 · tan(π/n))
Poiché la funzione tangente non è disponibile nel motore di calcolo del sito (che lavora con le quattro operazioni e la radice quadrata), questo calcolatore si limita al perimetro. Per l’area si può usare la formula per singoli poligoni: ad esempio, l’area dell’esagono è A = (3√3/2) · l².
Simmetrie dei poligoni regolari
Un poligono regolare con n lati ha n assi di simmetria e ammette rotazioni di 360°/n che lo mandano in sé stesso. Il suo gruppo di simmetria è il gruppo diedrale D_n con 2n elementi.
Per n = 4 (quadrato): 4 assi di simmetria, rotazioni di 90°. Per n = 6 (esagono): 6 assi di simmetria, rotazioni di 60°.
Tassellazioni del piano
Non tutti i poligoni regolari tassellano il piano (lo ricoprono senza sovrapposizioni né spazi vuoti). Solo tre poligoni regolari possono farlo da soli:
- Triangolo equilatero (n=3): 6 triangoli si incontrano in ogni vertice (6 × 60° = 360°).
- Quadrato (n=4): 4 quadrati si incontrano in ogni vertice (4 × 90° = 360°).
- Esagono regolare (n=6): 3 esagoni si incontrano in ogni vertice (3 × 120° = 360°).
Per gli altri poligoni regolari, l’angolo interno non divide esattamente 360°, quindi non è possibile una tassellazione regolare. È possibile però combinare più tipi di poligoni regolari (tassellazioni di Archimede): ad esempio ottagoni e quadrati, o triangoli e dodecagoni.
Poligoni regolari in natura
I poligoni regolari appaiono spontaneamente in natura quando le forze fisiche tendono a minimizzare l’energia:
- Alveari: le celle sono esagonali. L’esagono è il poligono regolare che tassella il piano usando la quantità minima di materiale per una data area: un risultato ottimizzato dall’evoluzione.
- Cristalli di sale: la struttura cubica (quadrata in 2D) del cloruro di sodio riflette le forze elettrostatiche tra ioni.
- Fiocchi di neve: la simmetria esagonale a 6 lati emerge dalla struttura cristallina dell’acqua ghiacciata.
- Occhi degli insetti: l’occhio composto è formato da tante unità esagonali (gli ommatidi) che coprono la superficie curva senza lasciare spazi vuoti.
Costruzione dei poligoni regolari con riga e compasso
La costruzione di poligoni regolari con soli riga e compasso è un problema che ha affascinato la matematica per secoli. Gauss dimostrò (1796) che un poligono regolare di n lati è costruibile se e solo se n è un prodotto di una potenza di 2 e di numeri di Fermat distinti (3, 5, 17, 257, 65537, …). Quindi sono costruibili: triangolo (3), quadrato (4), pentagono (5), esagono (6), ottagono (8), decagono (10), 15-gono, 17-gono. Non sono costruibili: ettagono (7), nonagono (9), undecagono (11).
Applicazioni pratiche
I dadi poliedrici nei giochi di ruolo hanno facce poligonali regolari (tetraedro = 4 facce triangolari, cubo = 6 facce quadrate, ottaedro = 8, dodecaedro = 12, icosaedro = 20). I bulloni e i dadi da bullone hanno testa esagonale perché 6 facce permettono di afferrare il dado in 6 posizioni diverse minimizzando lo spazio necessario.
Esercizi
Tre problemi di difficoltà crescente. Prova a risolverli con carta e penna, poi apri la soluzione per controllare. Puoi verificare il risultato anche con il calcolatore in cima alla pagina.
Facile
Un esagono regolare ha lato 4 cm. Calcolare il perimetro.
Soluzione
Si applica la formula del perimetro: P = n · l, con n = 6 lati.
P = 6 · 4 = 24 cm
Medio
Un esagono regolare ha lato 6 cm e apotema 5,2 cm. Calcolare il perimetro e l’area.
Soluzione
Prima il perimetro: P = n · l = 6 · 6 = 36 cm.
Poi l’area, con la formula A = (P · a) / 2:
A = (36 · 5,2) / 2 = 187,2 / 2 = 93,6 cm²
Perimetro = 36 cm, area = 93,6 cm².
Difficile
Una fontana a pianta ottagonale regolare ha perimetro 40 m. Trovare la lunghezza di un lato e l’area della fontana, sapendo che per un ottagono regolare l’apotema vale circa a ≈ l · 1,207.
Soluzione
Prima il lato, invertendo la formula del perimetro: l = P / n = 40 / 8 = 5 m.
Poi l’apotema stimata: a ≈ 5 · 1,207 = 6,035 m.
Infine l’area: A = (P · a) / 2 = (40 · 6,035) / 2 = 241,4 / 2 = 120,7 m².
Lato = 5 m, area ≈ 120,7 m².
Domande frequenti
Come si calcola il perimetro di un poligono regolare?
Il perimetro si calcola con la formula P = n · l, dove n è il numero di lati e l è la lunghezza di ciascun lato. Poiché tutti i lati sono uguali, è sufficiente moltiplicare. Con n = 6 e l = 5 cm: P = 6 · 5 = 30 cm.
Cos'è un poligono regolare?
Un poligono regolare è una figura piana con n lati tutti uguali e n angoli interni tutti uguali. Le due condizioni insieme garantiscono la massima simmetria possibile. Esempi: il triangolo equilatero (n = 3), il quadrato (n = 4) e l'esagono regolare (n = 6).
Come si calcola l'angolo interno di un poligono regolare?
La formula è α = (n − 2) · 180° / n. Con n = 6: α = (6 − 2) · 180° / 6 = 4 · 180° / 6 = 120°. Con n = 4: α = 2 · 180° / 4 = 90°, che corrisponde al quadrato. Con n = 3: α = 1 · 180° / 3 = 60°, che corrisponde al triangolo equilatero.
Come si calcola l'area di un poligono regolare?
L'area si calcola con la formula A = (P · a) / 2, dove P è il perimetro e a è l'apotema, cioè la distanza dal centro al punto medio di un lato. L'apotema vale a = l / (2 · tan(π/n)). Per l'esagono con l = 5 cm: a = 5 / (2 · tan(30°)) ≈ 5 / (2 · 0,577) ≈ 4,33 cm; A ≈ (30 · 4,33) / 2 ≈ 64,95 cm².
Perché l'esagono è così comune in natura?
L'esagono regolare è il poligono con cui si può coprire una superficie piana usando il perimetro totale minimo per una data area: è la soluzione ottimale al problema isoperimetrico per tassellazioni. Le api costruiscono le celle degli alveari con forma esagonale perché in questo modo usano la minima quantità di cera per chiudere la massima area. A parità di area, l'esagono ha perimetro inferiore sia al quadrato sia al triangolo equilatero.
Qual è il legame tra un poligono regolare e il cerchio?
Al crescere del numero di lati n, un poligono regolare inscritto in un cerchio di raggio r si avvicina sempre più al cerchio stesso. Il perimetro del poligono tende alla circonferenza 2πr e l'area tende a πr². Il cerchio è quindi il limite geometrico di una successione di poligoni regolari con n che tende a infinito e lato che tende a zero.