Area del trapezio
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I tuoi dati
Il trapezio è un quadrilatero con esattamente una coppia di lati paralleli. Questi lati paralleli si chiamano basi: la base maggiore (b1) è quella più lunga, la base minore (b2) quella più corta. I due lati non paralleli si chiamano lati obliqui o gambe. È la sezione che si ritrova nelle dighe e negli argini dei canali, dove la base larga in basso regge la spinta dell’acqua.
Classificazione dei trapezi
I trapezi si dividono in tre categorie principali in base alla forma dei lati obliqui:
- Trapezio rettangolo: uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi (angolo retto). L’altezza coincide con questo lato verticale.
- Trapezio isoscele: i due lati obliqui sono uguali in lunghezza. Gli angoli alla base maggiore sono uguali, così come quelli alla base minore. È il trapezio più simmetrico.
- Trapezio scaleno: i due lati obliqui sono diversi tra loro. La forma più generale.
Formula dell’area
L’area del trapezio si calcola con la formula della semisomma delle basi moltiplicata per l’altezza:
A = ((b1 + b2) · h) / 2
Questa formula si può capire in due modi complementari.
Primo modo, il doppio trapezio: se si prendono due trapezi identici e li si accostano capovolgendo uno dei due, si ottiene un parallelogramma con base (b1 + b2) e altezza h. L’area del parallelogramma è (b1 + b2) · h, quindi ciascun trapezio ha area metà, cioè (b1 + b2) · h / 2.
Secondo modo, il trapezio come rettangolo equivalente: la formula usa la media aritmetica delle due basi, cioè (b1 + b2) / 2, che è la larghezza media del trapezio. Moltiplicarla per l’altezza dà l’area di un rettangolo con quella stessa larghezza media: il trapezio e quel rettangolo hanno area uguale.
Esempio numerico
Con b1 = 10 cm, b2 = 6 cm, h = 5 cm:
A = ((10 + 6) · 5) / 2 = (16 · 5) / 2 = 80 / 2 = 40 cm²
La mediana del trapezio
La mediana (o linea media) del trapezio è il segmento che unisce i punti medi dei due lati obliqui. Due proprietà fondamentali:
- La mediana è parallela alle due basi.
- La sua lunghezza è la media aritmetica delle basi: m = (b1 + b2) / 2.
La mediana compare direttamente nella formula dell’area: A = m · h.
Il trapezio nell’architettura e nell’ingegneria
Il profilo trapezoidale compare in molte strutture:
- Dighe a gravità: la sezione trasversale di molte dighe è trapezoidale. La base più larga è in basso (dove la pressione dell’acqua è maggiore), quella più stretta in alto. Questa forma distribuisce le forze in modo ottimale.
- Travi a doppio T (profilo IPE): il profilo delle ali è trapezoidale nelle versioni inclinate. La forma riduce il materiale mantenendo la resistenza.
- Tetti a falde: la sezione verticale di un tetto spiovente su un edificio rettangolare forma un trapezio isoscele.
- Sezioni fluviali: l’alveo dei canali irrigui è spesso trapezoidale, con la base piatta in fondo e i lati inclinati per prevenire l’erosione delle sponde.
Casi particolari
- Se b1 = b2, il trapezio diventa un parallelogramma (le basi sono uguali e parallele, ma anche i lati obliqui diventano paralleli). La formula si riduce a A = b · h.
- Se b2 = 0, il trapezio degenera in un triangolo con base b1 e altezza h: A = (b1 · h) / 2.
Il trapezio è quindi una figura intermedia che generalizza sia il triangolo sia il parallelogramma.
Perimetro del trapezio isoscele
Per un trapezio isoscele con basi b1 e b2 e altezza h, il lato obliquo si calcola con Pitagora:
lato = √(h² + ((b1 − b2)/2)²)
Perimetro: P = b1 + b2 + 2 · lato
Con b1 = 10, b2 = 6, h = 5: lato = √(25 + ((10−6)/2)²) = √(25 + 4) = √29 ≈ 5,39 cm P = 10 + 6 + 2 · 5,39 ≈ 26,77 cm
Area per trapezi non rettangoli: nota sul calcolatore
Il calcolatore richiede solo le tre misure fondamentali: b1, b2, h. Non chiede i lati obliqui perché per l’area non servono. L’altezza h è il segmento perpendicolare alle basi, che può cadere all’interno o all’esterno del trapezio (nel caso di trapezio ottusangolo, l’altezza cade fuori dalla figura, ma la formula rimane valida).
Esercizi
Tre problemi di difficoltà crescente. Prova a risolverli con carta e penna, poi apri la soluzione per controllare. Puoi verificare il risultato anche con il calcolatore in cima alla pagina.
Facile
Un trapezio ha base maggiore 14 cm, base minore 8 cm e altezza 6 cm. Calcolare l’area.
Soluzione
Si applica la formula dell’area: A = ((b1 + b2) · h) / 2.
A = ((14 + 8) · 6) / 2 = (22 · 6) / 2 = 132 / 2 = 66 cm²
Medio
Un trapezio ha area 72 cm², base maggiore 12 cm e base minore 6 cm. Trovare l’altezza.
Soluzione
Si inverte la formula dell’area per ricavare l’altezza: h = 2A / (b1 + b2).
h = (2 · 72) / (12 + 6) = 144 / 18 = 8 cm
Difficile
Un terreno ha forma di trapezio isoscele con base maggiore 20 m, base minore 12 m e altezza 3 m. Calcolare l’area e il perimetro, ricavando prima la lunghezza del lato obliquo.
Soluzione
Prima l’area: A = ((20 + 12) · 3) / 2 = (32 · 3) / 2 = 96 / 2 = 48 m².
Poi il lato obliquo con il teorema di Pitagora, usando la semidifferenza delle basi (20 − 12) / 2 = 4 m:
lato = √(h² + 4²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 m
Perimetro: P = b1 + b2 + 2 · lato = 20 + 12 + 2 · 5 = 42 m.
Area = 48 m², perimetro = 42 m.
Domande frequenti
Come si calcola l'area del trapezio?
L'area del trapezio si calcola con A = ((b1 + b2) · h) / 2, dove b1 è la base maggiore, b2 la base minore e h l'altezza. Con b1 = 10 cm, b2 = 6 cm e h = 5 cm: A = ((10 + 6) · 5) / 2 = (16 · 5) / 2 = 80 / 2 = 40 cm².
Che cos'è l'altezza del trapezio?
L'altezza del trapezio è il segmento perpendicolare alle due basi parallele, non il lato obliquo. Nei trapezi rettangoli l'altezza coincide con il lato verticale; negli altri casi va costruita abbassando una perpendicolare da un vertice della base minore fino alla base maggiore (o alla sua estensione). Confondere l'altezza con il lato obliquo porta a un risultato sbagliato.
Perché la formula dell'area usa la semisomma delle basi?
La semisomma (b1 + b2) / 2 è la larghezza media del trapezio, cioè la sua mediana. Moltiplicarla per l'altezza equivale a calcolare l'area di un rettangolo con la stessa larghezza media e la stessa altezza. In alternativa si può pensare che due trapezi identici, accostati con uno capovolto, formano un parallelogramma di base b1 + b2 e altezza h; ogni trapezio ne occupa la metà.
Come si calcola il perimetro del trapezio isoscele?
Si calcola prima il lato obliquo con il teorema di Pitagora: lato = √(h² + ((b1 − b2) / 2)²). Poi il perimetro è P = b1 + b2 + 2 · lato. Con b1 = 10 cm, b2 = 6 cm e h = 5 cm: lato = √(25 + ((10 − 6) / 2)²) = √(25 + 4) = √29 ≈ 5,39 cm; P = 10 + 6 + 2 · 5,39 ≈ 26,77 cm.
Come si trova l'altezza del trapezio se si conosce l'area?
Si ricava invertendo la formula dell'area: h = 2A / (b1 + b2). Con A = 40 cm², b1 = 10 cm e b2 = 6 cm: h = (2 · 40) / (10 + 6) = 80 / 16 = 5 cm.
Cosa succede se le due basi del trapezio sono uguali?
Se b1 è uguale a b2 il trapezio diventa un parallelogramma e i due lati obliqui diventano paralleli tra loro. La formula dell'area si semplifica in A = b · h (con b = b1 = b2). Ad esempio, con b1 = b2 = 8 cm e h = 5 cm: A = 8 · 5 = 40 cm².