Volume e superficie del cilindro
Inserisci le tue misure e confronta il risultato: uno strumento veloce per controllare che i calcoli dei compiti siano corretti.
I tuoi dati
Che cos’è un cilindro
Un cilindro nasce facendo ruotare un rettangolo attorno a uno dei suoi lati: il lato fermo diventa l’asse, il lato opposto disegna la superficie curva e i due lati corti tracciano i cerchi di base. Per questa origine il cilindro rientra tra i solidi di rotazione, insieme a sfera e cono. È la forma delle lattine, dei bicchieri dritti, dei tubi e dei rulli.
Due misure bastano a descriverlo del tutto:
- Raggio di base (r): la distanza dal centro al bordo di uno dei due cerchi uguali.
- Altezza (h): la distanza fra le due basi, misurata lungo l’asse.
Da queste due misure escono tutte le formule. Il cilindro è più semplice del cono perché non ha generatrice inclinata: il fianco sale dritto, e questo rende la sua superficie laterale un rettangolo esatto.
Il volume: una pila di cerchi
Il volume si trova moltiplicando l’area del cerchio di base per l’altezza:
V = π · r² · h
L’idea è la stessa di una pila di monete identiche. Ogni “fetta” del cilindro è un cerchio di area π · r²; impilando quelle fette per un’altezza h si riempie tutto lo spazio. Con r = 5 cm e h = 10 cm il volume vale π · 25 · 10 = 250π ≈ 785,40 cm³.
Questo spiega perché il raggio conta più dell’altezza: raddoppiare h raddoppia il volume, ma raddoppiare r lo quadruplica, perché r è al quadrato.
La superficie: due cerchi e un rettangolo
La superficie totale del cilindro è fatta di tre pezzi: i due cerchi di base e il fianco curvo.
Il fianco è la parte interessante. Se si taglia lungo una verticale e lo si distende, diventa un rettangolo: alto quanto il cilindro (h) e lungo quanto il bordo del cerchio, cioè la circonferenza 2πr. La sua area è quindi:
S_laterale = 2 · π · r · h
Aggiungendo i due cerchi di base, ciascuno di area π · r², si ottiene l’area totale, che conviene raccogliere così:
A_totale = 2 · π · r · (r + h)
Con r = 5 cm e h = 10 cm: la superficie laterale è 2π · 5 · 10 = 100π ≈ 314,16 cm² e l’area totale è 2π · 5 · 15 = 150π ≈ 471,24 cm².
Cilindro, cono e sfera: la stessa base
Tre solidi condividono lo stesso cerchio di base e la stessa altezza, e i loro volumi stanno in un rapporto netto. Il cono ne occupa un terzo: V_cono = (1/3) · π · r² · h. La sfera inscritta in un cilindro alto quanto il suo diametro (h = 2r) ne occupa due terzi. Il cilindro è il contenitore pieno, il riferimento rispetto a cui gli altri due si misurano. È la relazione che Archimede considerava il suo risultato più bello.
Un esempio: la lattina
Una lattina di bibita ha all’incirca raggio 3 cm e altezza 10 cm. Il volume è π · 9 · 10 = 90π ≈ 282,74 cm³, vicino ai 330 ml dichiarati una volta tenuto conto dello spazio vuoto in alto. L’etichetta che la avvolge è la superficie laterale: 2π · 3 · 10 = 60π ≈ 188,50 cm². L’alluminio dell’intera latta, basi comprese, è l’area totale: 2π · 3 · 13 = 78π ≈ 245,04 cm².
Dalle formule inverse
Le stesse formule si leggono al contrario. Conoscendo il volume e il raggio si ricava l’altezza con h = V / (π · r²); conoscendo volume e altezza si ricava il raggio con r = √(V / (π · h)). Sono i passaggi più frequenti negli esercizi: il calcolatore qui sopra mostra ogni formula con i numeri già sostituiti, così è facile controllare dove un calcolo si è discostato dal risultato atteso.
Esercizi
Tre problemi di difficoltà crescente. Prova a risolverli con carta e penna, poi apri la soluzione per controllare. Puoi verificare il risultato anche con il calcolatore in cima alla pagina.
Facile
Calcola il volume di un cilindro con raggio di base r = 4 cm e altezza h = 10 cm.
Soluzione
Si usa la formula del volume: V = π · r² · h.
V = π · 4² · 10 = π · 16 · 10 = 160π ≈ 502,65 cm³
Medio
Un cilindro ha raggio di base r = 6 cm e altezza h = 9 cm. Calcola la sua superficie laterale.
Soluzione
La superficie laterale è il rettangolo che si ottiene srotolando il fianco: base 2πr, altezza h.
S_lat = 2 · π · r · h = 2 · π · 6 · 9 = 108π ≈ 339,29 cm²
Difficile
Un serbatoio cilindrico ha volume V = 1000 cm³ e altezza h = 8 cm. Trova il raggio di base e l’area totale.
Soluzione
Prima si ricava il raggio invertendo la formula del volume: r = √(V / (π · h)).
r = √(1000 / (π · 8)) = √(1000 / 25,13) = √39,79 ≈ 6,31 cm
Poi l’area totale, con A_tot = 2 · π · r · (r + h):
A_tot = 2 · π · 6,31 · (6,31 + 8) = 2 · π · 6,31 · 14,31 ≈ 567,07 cm²
Verifica del volume: V = π · 6,31² · 8 ≈ π · 39,82 · 8 ≈ 1000 cm³.
Domande frequenti
Come si calcola il volume del cilindro?
Il volume è l'area del cerchio di base moltiplicata per l'altezza: V = π · r² · h. Con r = 5 cm e h = 10 cm: V = π · 25 · 10 = 250π ≈ 785,40 cm³. È lo stesso principio di una pila di monete uguali: l'area di una moneta per quante ne servono a raggiungere l'altezza.
Come si calcola la superficie laterale del cilindro?
La superficie laterale è quella del rettangolo che si ottiene 'srotolando' il fianco: la sua base è la circonferenza 2πr e la sua altezza è h, quindi S_lat = 2 · π · r · h. Con r = 5 cm e h = 10 cm: S_lat = 2 · π · 5 · 10 = 100π ≈ 314,16 cm².
Come si calcola l'area totale del cilindro?
All'area laterale si sommano i due cerchi di base: A_tot = 2 · π · r · h + 2 · π · r², che si raccoglie in A_tot = 2 · π · r · (r + h). Con r = 5 cm e h = 10 cm: A_tot = 2 · π · 5 · 15 = 150π ≈ 471,24 cm².
Perché la superficie laterale è un rettangolo?
Se si taglia il fianco del cilindro lungo una verticale e lo si distende su un foglio, la curva si apre in un rettangolo. Un lato è alto quanto il cilindro (h), l'altro è lungo quanto il bordo del cerchio di base, cioè la circonferenza 2πr. L'area del rettangolo è base per altezza: 2πr · h.
Che rapporto c'è tra cilindro e cono con la stessa base e altezza?
Il cono occupa esattamente un terzo del cilindro che ha la stessa base e la stessa altezza: V_cono = (1/3) · π · r² · h. Per riempire il cilindro con l'acqua contenuta nel cono servono tre versamenti. La sfera inscritta nel cilindro (raggio r, altezza 2r) ne occupa due terzi.
Come si trova l'altezza conoscendo il volume?
Dalla formula V = π · r² · h si isola h: h = V / (π · r²). Con V = 785,40 cm³ e r = 5 cm: h = 785,40 / (π · 25) = 785,40 / 78,54 = 10 cm. Si verifica reinserendo il valore: π · 25 · 10 = 250π ≈ 785,40 cm³.
Come si trova il raggio conoscendo volume e altezza?
Si parte da V = π · r² · h e si isola r: r = √(V / (π · h)). Con V = 785,40 cm³ e h = 10 cm: r = √(785,40 / (π · 10)) = √(785,40 / 31,42) = √25 = 5 cm.
Se si raddoppia il raggio, come cambiano volume e superficie?
Il volume quadruplica, perché nella formula π · r² · h il raggio è elevato al quadrato e (2r)² = 4r². La superficie laterale invece raddoppia soltanto: in 2 · π · r · h il raggio compare alla prima potenza. Sul cilindro il raggio pesa quindi molto più dell'altezza nel determinare la capacità.
Una lattina con r = 3 cm e h = 10 cm: quanto contiene?
Volume: V = π · 3² · 10 = π · 9 · 10 = 90π ≈ 282,74 cm³, cioè circa 283 ml. Superficie laterale (l'etichetta): S_lat = 2 · π · 3 · 10 = 60π ≈ 188,50 cm². Area totale (la latta intera): A_tot = 2 · π · 3 · 13 = 78π ≈ 245,04 cm².
Qual è la differenza tra cilindro retto e cilindro obliquo?
Nel cilindro retto le due basi sono allineate verticalmente e l'asse è perpendicolare alle basi: tutte le generatrici hanno la stessa lunghezza, uguale all'altezza h. Nel cilindro obliquo una base è spostata di lato, le generatrici sono inclinate e il calcolo della superficie cambia. Il calcolatore si riferisce al cilindro retto.
Posso usare il calcolatore per verificare i compiti?
Sì: si inseriscono raggio e altezza e si confrontano volume, superficie laterale e area totale con i risultati dell'esercizio. Il calcolatore mostra anche la formula con i numeri già sostituiti, così è possibile controllare ogni passaggio e capire dove un calcolo si è discostato.